slacky.eu

Sto preparando questo esame (finalmente mi sono deciso ), ma ho un'enorme dubbio riguardante il calcolo degli autovettori...

Un esempio (per le matrici metto le | per indicare inizio e fine delle righe anche se alla fine l'identazione è bruttissima :P)

ho la matrice A =

| i 1+i |
| 0 1+i |

ne calcolo gli autovalori

det( A - tI), in questo caso una identità di ordine 2, dopo il calcolino risulta che il determinante è (i - t)(1 + i - t)

dal determinante trovo che gli autovalori sono due e precisamente i e i+1

dai due autovalori calcolo gli autospazi andandomi a calcolare il nucleo di ( A - iI ) e di ( A - (1+i)I) con identità I di ordine 2. Risolvo quindi il sistema (A - iI)x = 0 e (A - (1+i)I)x = 0

Quindi dal secondo sistema (per prenderne uno) risulta quanto segue

| -1 1+i |
| 0 0 |

E1(-1)

| 1 -1-i |
| 0 0 |

da quì come estraggo un autovettore? La soluzione dell'esercizio dice che un autovettore è [1+i 1] Trasposto ma non mi è ben chiaro il metodo di calcolo...

Qualcuno saprebbe illuminarmi? Magari dare una strada da seguire?

Ho dato l'esame di geometria e algebra lineare nel '99, quindi non ricordo molto. Google però è tuo amico , puoi provare a guardare qui.

Ciao Sari!
Allora, come hai trovato, A - (i+1)*I e' uguale a

| -1 i+1 |
| 0 0 |

Adesso, per trovare il nucleo dell'autospazio associato all'autovalore (1+i) autospazio, devi moltiplicare questa matrice per il vettore generico x, che si puo' scrivere cosi':

| x1 |
| x2 | .

Moltiplicando riga per colonna ottieni [A - (i+1)*I] * x =

| -x1+x2*(i+1) |
| 0 | E' UN VETTORE COLONNA 2X1!

Per trovare l'autospazio, devi uguagliare questo vettore colonna a zero: ti viene fuori il sistema:

-x1+x2*(i+1) = 0
0 = 0

L'uguaglianza e' verificata se e solo se x1 = x2*(i+1) .
Le infinite soluzioni del sistema sono, percio', tutti e soli i vettori del tipo

| x2*(i+1) |
| x2 |

Questi vettori formano uno spazio di dimensione 1 generato dal vettore

| i+1 |
| 1 |

Fine!
Gli autovettori sono una bella rogna... una volta che hai capito come funziona la cosa, sei a cavallo. All'inizio pensavo che fossero solo seghe mentali, ma poi mi sono reso conto che hanno una grandissima importanza applicativa: tutta la teoria dei sistemi e la teoria del controllo (con tutto quello che si portano dietro: teoria della raggiungibilita', dell'osservabilita', della realizzazione, etc) si basano su questi concetti di algebra lineare...
ciaoz!

E per chi avrà la (s)fortuna si ritroverà cose ben più difficili in meccanica quantistica a partire dalle equazioni di Schroedinger....

l'altro giorno ho scoperto che se mi fischia l'amplificatore è per colpa di un autovalore pensa un pò.... che mondo....

gianPrazio ha scritto:Ciao Sari!
Allora, come hai trovato, A - (i+1)*I e' uguale a

| -1 i+1 |
| 0 0 |

Adesso, per trovare il nucleo dell'autospazio associato all'autovalore (1+i) autospazio, devi moltiplicare questa matrice per il vettore generico x, che si puo' scrivere cosi':

| x1 |
| x2 | .

Moltiplicando riga per colonna ottieni [A - (i+1)*I] * x =

| -x1+x2*(i+1) |
| 0 | E' UN VETTORE COLONNA 2X1!

Per trovare l'autospazio, devi uguagliare questo vettore colonna a zero: ti viene fuori il sistema:

-x1+x2*(i+1) = 0
0 = 0

L'uguaglianza e' verificata se e solo se x1 = x2*(i+1) .
Le infinite soluzioni del sistema sono, percio', tutti e soli i vettori del tipo

| x2*(i+1) |
| x2 |

Questi vettori formano uno spazio di dimensione 1 generato dal vettore

| i+1 |
| 1 |

Fine!
Gli autovettori sono una bella rogna... una volta che hai capito come funziona la cosa, sei a cavallo. All'inizio pensavo che fossero solo seghe mentali, ma poi mi sono reso conto che hanno una grandissima importanza applicativa: tutta la teoria dei sistemi e la teoria del controllo (con tutto quello che si portano dietro: teoria della raggiungibilita', dell'osservabilita', della realizzazione, etc) si basano su questi concetti di algebra lineare...
ciaoz!

grandioso, mi hai aperto la mente! domani so dove cominciare a parare la testa per capire gli esercizi. Ottima cosa grazie ancora.

absinthe ha scritto:l'altro giorno ho scoperto che se mi fischia l'amplificatore è per colpa di un autovalore pensa un pò.... che mondo....

Cos'era? un autovalore a modulo maggiore di 1? forse questo ti portava ad un sistema instabile, almeno secondo la teoria di Lyapunov...

com'era? autovalore immaginario con modulo >1 o autovalore reale positivo??? che era quella roba relativa ai sistemi tempo continui e tempo discreti????

ma perchè ho studiato sta roba??? ma che c'entra con l'ingegneria ambientale... (chi ha detto modellistica dei sistemi ambientali? è un falso storico

bah...
M.

W la trasformata Z !!!!!!!!!!!

absinthe ha scritto:com'era? autovalore immaginario con modulo >1 o autovalore reale positivo??? che era quella roba relativa ai sistemi tempo continui e tempo discreti????

ma perchè ho studiato sta roba??? ma che c'entra con l'ingegneria ambientale... (chi ha detto modellistica dei sistemi ambientali? è un falso storico

bah...
M.

W la trasformata Z !!!!!!!!!!!

Boh, ho quasi sparato a caso.
Inizio a non ricordarmi piu' una mazza di teoria di sistemi... mi sembra, comunque, che per i sistemi discreti si dovesse guardare se stavano dentro al cerchio di raggio 1 centrato nell'origine del piano complesso.... e per i sistemi a tempo continuo il semipiano a parte reale negativa .............. ma cosa cavolo sto dicendo?
lasciamo stare....

non vi chiederete come sarà andato l'esame, ma ve lo dico lo stesso!

3 esercizi pratici (PTLU, applicazione lineare con rango e diagonalizzazione) su 5 e i due non fatti erano le uniche domande di teoria... avevo sperato che non chiedesse nessuna dimostrazione su autovalori e autovettori e invece due su due , quando si parla di fortuna... Sarà per settembre.

Cavolo, mi dispiace!
Ma hai gia' saputo i risultati?
E se e' proprio andata male, vabbe', dai... sara' per settembre! non perderti d'animo!

nun è un problema si rifà a settembre.

Sari ha scritto:non vi chiederete come sarà andato l'esame, ma ve lo dico lo stesso!

3 esercizi pratici (PTLU, applicazione lineare con rango e diagonalizzazione) su 5 e i due non fatti erano le uniche domande di teoria... avevo sperato che non chiedesse nessuna dimostrazione su autovalori e autovettori e invece due su due , quando si parla di fortuna... Sarà per settembre.

se era la prima volta vai libero: io geomatria l'ho dato alla seconda e analisi I alla settima ottava non mi ricordo +...