Offtopic: Adesso... non vorrei ribbatere però mi piace parlare con chi ... :
Sei sicuro che uno spazio vettoriale debba avere per forza una metrica (e poi addirittura piatta..) ? O forse è solo il caso di alcuni spazi vettoriali detti normati
e poi uno spazio sferico ha una metrica ed è uno spazio vettoriale .... Basta estendere il concetto di metrica (rivedilo). Gli spazi vettoriali sono insiemi in cui è essenzialmente definita la possibilità di sommare due elementi cosa molto comune nelle configurazione dei sistemi meccanici reali (pendolo => una qualsiasi configurazione si può pensare somma di due rotazioni 
). E poi..... Il fatto che che esista una Funzione di Lagrange è indifferente le eq. del moto si possono scrivere (come saprai) anche per sistemi non conservativi e sono un invariante del sistema ( e non solo meccanico) nel senso che cambiano l'espressione algebrica per trasformazioni topologiche dello Spazio delle Configurazioni ma poi la loro legge oraria descrive sempre la stessa infinita successione di atti di moto (hai mai sentito parlare di coordinate modali?)... La geodetica è quella curva che è soluzione delle e.q. di eulero sullo spazio delle configurazioni ed è direttamente connessa con la metrica di questo (tratto di linea in spazio euclideo, arco sferico su sfera etc....).Il Fatto che non si studi più il corpo rigido... testimonia la forte decadenza dei nostri studi
pensa io ho studiato rigido, elastico lineare, elasto plastico.... peccato per i ragazzi in gamba come te.... ma questo OFFTOPPIC**2E poi il principio di minima azione esiste sempre... perchè come diceva Landau l'evoluzione dinamica di un sistema dipende dalla topologia dello spazio delle configurazione e va secondo un principio naturale tale da Rendere Minima l'azione e non è dimostrabile infatti è un principio e poi..... hai mai visto un torrente/rio/fiume che scende non facendo il persorso a lui più semplice
L'approccio alla meccanica secondo lagrange è spesso esposto male in molti libri e da molti autori che piuttosto far capire la potenza del metodo fanno infinite lucubrazioni mentali su cose che non meritano più di tanto... In sostanza :
Offtopic:Offtopic: Trovo i gdl => scrivo le eq di Lagrange/del moto=> Le integro (conoscendo le cond. In) per trovare l'evoluzione dinamica del sistema e poi tutto il resto: stabilità, sensibilità alla cond. Iniziali, problemi di Integrazioni(es. sistemi rigidi)........
PS: mi permetto di suggerirti un testo: FELSAGER B. Geometry, particles and fields (un capolavoro altro che certi scopiazzi italiani
)
. Lo spazio delle cofigurazioni è uno spazio dove ogni punto rappresenta una particolare configurazione. Come nel caso del pendolo non puoi sommare due punti sul cilindro (in modo canonico ovviamente).
